Dlaczego do opisu natury często używamy słów takich jak 'zimna' czy 'sucha'? Jednym z powodów jest niemożność opisania kształtu chmury, góry, linii brzegowej czy drzewa. Chmury nie są sferami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, kora nie jest gładka, a światło nie porusza się po linii prostej.
Ogólnie rzecz ujmując, wiele wzorów Natury jest tak nieregularnych i rozdrobnionych, że porównując je z geometrią euklidesową, która opisuje podstawowe kształty, Natura nie przedstawia po prostu wyższej formy złożoności, ale zupełnie inny jej poziom. Ilość zróżnicowanych skal długości naturalnych wzorów jest praktycznie nieskończona.
Istnienie tych kształtów zmusza nas do przestudiowania form, które geometria euklidesowa odrzuca na bok uznając za 'bezkształtne' i zbadania morfologii 'amorficzności'. Matematycy pogardzają tym wyzwaniem i uciekają od natury w stronę teorii, które w żaden sposób nie są związane z tym, co możemy zobaczyć lub poczuć.
Odpowiadając na to wyzwanie, stworzyłem i rozwinąłem nową geometrię natury i zastosowałem ją na wielu różnych płaszczyznach. Opisuje ona wiele nieregularnych i rozdrobnionych wzorów, które nas otaczają i prowadzi do zdefiniowania rodziny kształtów, które nazwałem fraktalami. Zarówno regularność jak i nieregularność fraktali jest statystyczna. Kształty, które opisuję mogą być skalowane, przy czym stopień ich złożoności jest dokładnie taki sam w każdej ze skal. Koncepcja skali fraktalnej (Hausdorff) odgrywa w tej teorii bardzo istotną rolę.
Niektóre fraktale to zbiory krzywych na płaszczyznach, inne to oddzielone od siebie 'pyły' lub mają tak dziwne kształty, że nie istnieją słowa, zarówno w nauce jak i sztuce, które nadają się do ich opisania.
Manifest: istnieje fraktalny obraz geometrii natury
...F.J. Dyson bardzo elokwentnie podsumował mój temat.
'Fraktal to słowo stworzone przez Mandlebrota aby opisać grupę obiektów, które mają historyczne znaczenie dla rozwoju czystej matematyki. Wielka rewolucja oddziela klasyczną matematykę XIX wieku od nowoczesnej matematyki wieku XX. Klasyczna matematyka opiera się na regularnej geometrii struktur euklidesowych i rozwijającej się teorii dynamiki Newtona. Nowoczesna matematyka rozpoczęła się dzięki teorii mnogości Cantora i krzywej Peano. Z historycznego punktu widzenia, rewolucję wymusiło odkrycie struktur matematycznych, które nie pasowały do wzorów euklidesowych i newtonowskich. Te nowe struktury postrzegano jako 'patologiczne', jako 'galerię potworności', podobnie jak malarstwo kubistyczne i atonalną muzykę, które naruszały utarte schematy w sztuce swoich czasów. Matematycy, którzy stworzyli te monstra uznali je za istotne, aby pokazać, że świat matematyki jest znacznie bogatszy niż proste struktury, które znano z Natury. Dwudziestowieczna matematyka uwierzyła, że przekroczyła granice narzucone jej przez naturale źródła.
Teraz, tak jak wskazuje Mandelbrot... Natura zażartowała sobie z matematyków. XIX-wiecznym matematykom mogło zabraknąć wyobraźni, ale nie zabrakło jej Naturze. Te same patologiczne struktury, które matematycy odkryli w celu zerwania z naturalizmem XIX wieku okazały się wszechobecne w obiektach, które nas otaczają.
Dowiodłem zatem obserwacji Pascala, że wyobraźnia wcześniej znuży się pojmowaniem, niż natura dostarczaniem przedmiotów.
Jednakże geometria fraktalna nie jest prostą 'aplikacją' XX-wiecznej matematyki. Jest nową jej gałęzią zrodzoną z kryzysu matematyki powstałego w momencie, kiedy Reymond w 1875 po raz pierwszy przedstawił funkcję skonstruowaną przez Weierstrassa.
Pokazuję to, żeby pokazać, że poza ich najdziwniejszymi kreacjami, kontynuowanymi przez kilka pokoleń następców, istnieją światy tak bardzo pociągające dla wszystkich celebrujących Naturę poprzez próbę jej imitowania.' [...]
Standardowa forma i Nowa Fraktalna Forma Geometrycznej 'Sztuki'
...Fraktalna 'nowa sztuka geometryczna' wydaje się niezwykle podobna do prac wielkich mistrzów i architektury Beaux Arts. Oczywista przyczyna jest taka, że wiele klasycznych gatunków sztuki, podobnie jak fraktale, posługiwało się mnogością skal i długości oraz celebrowało samo-podobieństwo. Z tych powodów i dlatego, że sztuka ta starała się naśladować Naturę w celu zrozumienia jej praw, sztuka fraktalna może być od razu zaakceptowana, ponieważ tak naprawdę nie będzie niczym nowym. Malarstwo abstrakcyjne jest tu wyjątkiem: te, które lubię są zbliżone do sztuki fraktalnej, ale wiele z dzieł abstrakcyjnych za mocno zbliża się do standardowej geometrii - zbyt blisko dla mojej własnej przyjemności i komfortu.
Powstaje tu pewien paradoks: jak zaobserwował Dyson, współczesna matematyka, muzyka, malarstwo i architektura mogą wydawać się ze sobą powiązane. Jest to jednak tylko złudzenie, zwłaszcza w kontekście architektury: budynek Miesa van der Rohe to cofanie się do euklidesowej przeszłości, natomiast budynki z dojrzałej szkoły Beaux Arts są bogate w aspekty fraktalne.
tłum. Łukasz Stępnik
źródło: Benoît V Mandelbrot, 'The Fractal Geometry of Nature', Nowy Jork: W. H. Freeman and Co., 1982,
fragment użyty w zakresie uzasadnionym nauczaniem, kopiowanie w celach komercyjnych jest zabronione
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz